‘শূন্য’ সম্পর্কিত ‘গুণ’ এবং ‘ভাগ’ বিষয়ে
‘ব্রহ্মগুপ্ত’ সুস্পষ্ট করে তেমন কিছুই বলে যান নি । এই বিষয়ে বিস্তারিত
পাওয়া  যায় ভারতীয় আরেক গণিত লিজেন্ড  দ্বিতীয় ভাস্কর
(১১১৪-১১৮৫)  এর রচনা গুলোতে । দ্বিতীয় ভাস্করই  সর্বপ্রথম নেগেটিভ ও
পজিটিভ সংখ্যার  আচরণ সম্পর্কে ধারনা প্রদান করে যান । দ্বিতীয়
ভাস্করের  মূল তত্ত্বকথা :

 

ক। যোগ সম্পর্কে বলেছেন:
The sum of
zero and a negative number is negative, the sum of a positive number and
zero is positive; the sum of zero and zero is zero.
শূন্য এবং নেগেটিভ সংখ্যার যোগফল নেগেটিভ, শূন্য এবং পজিটিভ সংখ্যার যোগফল পজিটিভ, শূন্য এবং শূন্য’র যোগফল শূন্য।
খ। বিয়োগ সম্পর্কে বলেছেন:
A negative
number subtracted from zero is positive, a positive number subtracted
from zero is negative, zero subtracted from a negative number is
negative, zero subtracted from a positive number is positive, zero
subtracted from zero is zero.
শূন্য থেকে নেগেটিভ সংখ্যার বিয়োগফল পজিটিভ
, শূন্য থেকে পজিটিভ সংখ্যার বিয়োগফল নেগেটিভ, নেগেটিভ সংখ্যা থেকে
শূন্য’র বিয়োগফল নেগেটিভ , পজিটিভ সংখ্যা থেকে শূন্য’র বিয়োগফল পজিটিভ ,
শূন্য থেকে শূন্য’র বিয়োগফল শূন্য।


ঋণাত্মক সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুন করলে ফলটি হবে ধনাত্মক ।
ঋণাত্মক সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুন করলে ফল হবে ঋণাত্মক।
শূন্য সম্পর্কিত  গুণ এবং ভাগ বিষয়ে তিনি বলেন:
১। ‘শূন্য’ দিয়ে কোন সংখ্যাকে গুণ করলে গুণফল ‘শূন্য’ ‘ হবে।
২। ‘শূন্য’ কে কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল  ‘শূন্য’ হবে।

কিন্তু ‘শূন্য’ দিয়ে কোন সংখ্যাকে ভাগ করলে ভাগফল কী হবে ?

ধরা যাক ,    a =b

‘a’ দ্বারা গুণ করে,   a2= ab

a2 – 2ab যোগ করে,   a2 + a2 – 2ab = ab + a2 – 2ab

2a2 – 2ab = a2 – ab

2(a2 – ab) = (a2 – ab)

(a2 – ab) দিয়ে ভাগ করে,   2= 1

যেহেতু a = b , তাই a2 – ab =0 , অতএ  ‘শূন্য’ দিয়ে দুই পক্ষকে ভাগ করার কারণেই জন্ম হয়েছে এই প্যারাডক্স ।

আরও একটু সহজ করে যদি বলা হয়  , ধরা যাক 15/ 0 = Y অর্থাৎ 0 X Y= 15 তার
মানে ‘Y’ এর মান 9 , 16 , 501 যা খুশী হোক ,কোন কিছুতেই 0 X Y= 15 হবে না।

অর্থাৎ  কোন সংখ্যাকে ‘শূন্য’ দিয়ে ভাগ করলে  তার  ফলাফল হবে ‘অনির্দিষ্ট’ ।